Verwachtingswaardeuitrekeningen

Verwachtingswaardeuitrekeningen verwijzen naar de berekening van de verwachtingswaarde, oftewel het kansgewogen gemiddelde, van een kansverdeling of van een willekeurige variabele X. De verwachtingswaarde geeft een maat voor de centrale tendens en kan worden geïnterpreteerd als het langetermijngemiddelde bij herhaalde, onafhankelijke experimenten.

Voor een discrete variabele X met waarden xi en kans P(X = xi) geldt: E[X] = ∑ xi P(X = xi). Voor een continue variabele met dichtheidsfunctie fX: E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x fX(x) dx. Bestaat de verwachting, dan is hij eindig; anders kan E[X] divergeren.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer lineariteit: E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y]. In het bijzonder geldt E[X + Y] = E[X] + E[Y], ook als X en Y afhankelijk zijn. De totale verwachtingswaarde E[X] = E[E[X|Y]] beschrijft hoe men een verwachtingswaarde stap voor stap kan afleiden via conditionele verwachtingen.

Voorbeelden helpen bij intuitie: als X een indicatorvariabele is voor kop bij een munt met kopkans p, dan E[X] = p. Voor een continue uniforme variabele op [0,1] is E[X] = 1/2.

Interpretatie en toepassing: steekproefgemiddelden X̄ dienen als schatting van E[X]; onder iid-voorwaarde is X̄ onbias en convergeert naar de ware verwachtingswaarde door de wet van de grote aantallen. Verwachtingswaardeuitrekeningen spelen een centrale rol in statistiek, besluitvorming onder onzekerheid, financiën, risicobeoordeling en actuariële berekeningen.