Verteilungsmomente

Verteilungsmomente sind zentrale Größen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die die Form einer Verteilung quantifizieren. Die rohen Momente einer Zufallsvariablen X heißen m_k und definieren sich als m_k = E[X^k] (k≥1), sofern die Erwartung existiert. Die zentralen Momente μ_k definieren sich als μ_k = E[(X−μ)^k], wobei μ = E[X] der Erwartungswert ist. Zentralmomente beschreiben Abweichungen vom Mittelwert und geben Aufschluss über Streuung, Form und Ausreißer.

Standardisierte Momente beschreiben die Form der Verteilung unabhängig von Lage und Streuung. Die Schiefe γ1 = μ3/μ2^(3/2) misst die Asymmetrie, die Wölbung bzw. Kurtosis γ2 = μ4/μ2^2 die Peakedness. Das exzessive Kurtosis κ = γ2 − 3 wird häufig verwendet, um Abweichungen von der Normalverteilung zu kennzeichnen. Diese Größen ermöglichen eine vergleichende Shape-Analyse zwischen Verteilungen.

Momentenerzeugende Funktionen und verwandte Konzepte liefern systematisches Vorgehen zur Berechnung der Momente. Die Momentenerzeugende Funktion M_X(t) = E[e^{tX}] hat in der Umgebung von t = 0 Potenzen, deren Ableitungen die rohen Momente liefern: m_k = M_X^(k)(0). Das Logarithmieren von M_X(t) ergibt die Cumulanten, die oft einfachere Additivität bei Unabhängigenigenschaften besitzen. Der zugehörige charakteristische Funktion φ_X(t) = E[e^{itX}] dient ebenfalls der Analyse.

Anwendungen umfassen die Momentenmethode zur Parameterbestimmung, Deskription von Verteilungen und Modellvergleiche. Für bekannte Verteilungen existieren geschlossene Formeln, z. B. bei Normalverteilungen N(μ, σ^2): μ2 = σ^2, μ3 = 0, μ4 = 3σ^4, was zu einer exzessiven Kurtosis von 0 führt. Verteilungsmomente bieten thus eine kompakte, interpretable Beschreibung der Verteilungsform.