Zentralmomente

Zentralmomente sind statistische Maße, die die Form einer Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Erwartungswert beschreiben. Für eine Zufallsgröße X mit Erwartungswert E[X] bezeichnet der r-te Zentralmoment mu_r(X) das Erwartungswert des r-ten Potenzabstands von X zu ihrem Mittelwert: mu_r = E[(X − E[X])^r]. Der erste Zentralmoment mu_1 ist immer Null, der zweite Zentralmoment mu_2 entspricht der Varianz, mu_3 dem dritten Zentralmoment und mu_4 dem vierten Zentralmoment. Zentralmomente liefern Informationen über Streuung, Asymmetrie und Wölbung der Verteilung.

Typische Zentralmomente und bedeutung:

- mu_2 = Var(X) ist die Varianz und misst die Streuung um den Mittelwert.

- mu_3 = E[(X − E[X])^3] ist der dritte Zentralmoment und gibt Hinweise auf die Schiefe der Verteilung.

- mu_4 = E[(X − E[X])^4] beschreibt die Wölbung und wird mit der Kurtosis verbunden. Die standardisierte Form mu_3 / sigma^3 ergibt die Schiefe, mu_4 / sigma^4 die Kurtose; häufig wird die überschüssige Kurtose mu_4 / sigma^4 − 3 verwendet.

Beziehung und Berechnung:

Zentralmomente unterscheiden sich von Rohmomenten m_r = E[X^r], da sie um den Mittelwert zentriert sind. Sie bleiben unverändert, wenn eine Konstante zu X addiert wird (Translationseigenschaft). In der Praxis werden Stichprobenzentrale Momente m_k = (1/n) ∑ (x_i − x̄)^k verwendet, wobei x̄ der Stichprobenmittelwert ist. Zentralmomente dienen der Charakterisierung von Verteilungen, der Modellbewertung und in Anwendungen wie Schätzungen der Verteilungsform, Hypothesentests und Risikobewertungen.