Verteilungs

Verteilungs ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, der beschreibt, wie Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ausprägungen einer Zufallsvariablen verteilt sind. Man unterscheidet zwischen diskreten Verteilungen, bei denen Wahrscheinlichkeiten auf einzelne Werte zugeordnet werden, und stetigen Verteilungen, bei denen Wahrscheinlichkeiten durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben werden. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) fasst die Verteilung vollständig zusammen, ist monoton wachsend, rechtsseitig stetig, und erfüllt F(-∞)=0 und F(+∞)=1.

Diskrete Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion p(k) = P(X=k); Beispiele: Binomialverteilung, Poissonverteilung, Geometrische Verteilung. Stetige Verteilungen: Dichte f(x) mit Integral über ganz R von f(x) dx = 1; Beispiele: Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung.

Momente und Eigenschaften: Erwartungswert E[X], Varianz Var(X); weitere Charakteristika wie Schiefe und Wölbung. Unabhängigkeit, gemeinsame Verteilungen und die Faltung von Verteilungen erklären die Verteilungen von Summen unabhängiger Zufallsvariablen. Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt die Annäherung vieler Verteilungen an die Normalverteilung bei wachsender Stichprobengröße.

Anwendungen: In Wissenschaft, Technik und Finanzen dient Verteilung als Grundlage statistischer Modelle, Inferenz und Risikoanalyse. Wahrscheinlichkeitsmodelle werden genutzt, um Messfehler, Lebensdauer oder Renditen zu beschreiben, Quantile zu bestimmen und Unsicherheiten zu quantifizieren.