Unitarität

Unitarität ist eine Eigenschaft linearer Operatoren auf einem komplexen Hilbertraum. Ein Operator U heißt unitär, wenn U†U = UU† = I gilt, wobei U† das adjungierte Operator ist. Diese Bedingung bedeutet, dass das Skalarprodukt erhalten bleibt: Für alle Vektoren x, y gilt ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩. Daraus folgt die Erhaltung der Normen, Distanzen und der linearen Struktur unter U.

In endlicher Dimension entspricht Unitärität einer Matrix mit orthonormalen Spalten, das heißt U besitzt eine Inverse mit U−1 = U†. Folglich ist U invertierbar; Det(U) hat Betrag 1. Die Menge aller unitären Operatoren bildet die unitäre Gruppe U(n) in Cn, und allgemein U(H) bezeichnet die Gruppe aller unitären Abbildungen eines Hilbertraums H.

Wichtige Eigenschaften sind Norm- und Innenprodukt-Erhaltung, Orthogonalität der Transformationen in komplexem Raum und die Tatsache, dass Eigenwerte von unitären Operatoren auf dem Einheitskreis liegen. Unitäre Operatoren sind Normaloperatoren und bilden eine zentrale Klasse in der Spektraltheorie.

In der Physik, insbesondere der Quantenmechanik, spielt Unitärität eine fundamentale Rolle: Die Zeitentwicklung durch eine zeitabhängige Evolution U(t) ist unitär, wodurch Gesamtwahrscheinlichkeit erhalten bleibt. Auch S-Matrix und viele Quantenprozesse werden durch unitäre Operatoren beschrieben, sodass die Wahrscheinlichkeiten ihrer Ergebnisse additiv konstant bleiben.

Abstrakt erscheint Unitärität in C*-Algebren als U†U = UU† = I; sie sichert Kompatibilität mit dem adjungierten Operator und der Multiplikation. Anwendungen finden sich zudem in der Signalverarbeitung, etwa bei der diskreten Fourier-Transformation, die unter geeigneter Normalisierung unitär ist.