adjungierte

Adjungierte Matrix

Die adjungierte (auch adjugate) Matrix einer quadratischen Matrix A ist die Transponierte der Cofaktormatrix von A. Die Einträge von adj(A) ergeben sich aus den Cofaktoren C_{ij} von A durch adj(A)_{ij} = C_{ji}. Ein Cofaktor C_{ij} ist C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}, wobei M_{ij} der Determinant der Untermatrix ist, die entsteht, wenn die i-te Zeile und die j-te Spalte von A entfernt werden.

Eigenschaften: Die adjungierte Matrix erfüllt A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · I, wobei I die Einheitsmatrix ist. Ist der Determinant det(A) ≠ 0, existiert die Inverse von A und A^{-1} = (1/det(A)) · adj(A). adj(A) existiert stets für quadratische A, spielt jedoch eine zentrale Rolle insbesondere dann, wenn A nicht invertierbar ist.

Beispiel: Für A = [[a, b], [c, d]] gilt adj(A) = [[d, -b], [-c, a]]. Allgemein lässt sich adj(A) durch die Berechnung der Cofaktoren und deren Transposition bestimmen.

Anwendungen: Die adjungierte Matrix dient zur Berechnung der Inversen (falls vorhanden), in der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Cramer's Regel und in verschiedenen Identitäten der Determinantenlehre. In einigen Kontexten wird der Begriff adjungierte Matrix auch mit der konjugiert-Transponierten (Hermitian transpose) verwechselt; im hier beschriebenen Sinn bezieht sich adj(A) strikt auf die transponierte Cofaktormatrix, nicht auf die Hermitische Transponierte.