Normaloperatoren

Normaloperatoren sind lineare Operatoren T auf einem komplexen Hilbertraum H, die TT = TT erfüllen. In der Regel werden beschränkte Operatoren betrachtet; es gibt auch eine Version für unbeschränkte, dicht definierte, geschlossene Operatoren. Normaloperatoren bilden eine zentrale Klasse in der Operatoralgebra und umfassen sowohl selbstadjungierte (T = T) als auch unitäre Operatoren (TT = TT = I) als Spezialfälle.

Wesentliche Eigenschaften: Ein Operator ist genau dann normal, wenn er zu seinem Adjoint T kommutiert. Für alle x gilt zudem ||Tx|| = ||T x||. Das Spektrum σ(T) liegt in der komplexen Ebene, und der Spektralradius r(T) entspricht dem Operatornorm: r(T) = ||T||, insbesondere gilt für normaloperierende Matrizen eine unitäre Diagonalisierung. In endlichen Dimensionen besitzt T somit eine orthonormale Basis aus Eigenvektoren und ist unitär diagonalisierbar.

Spektraltheorem: Für jeden beschränkten normalen Operator T existiert eine eindeutige projektionswertige Maß E auf den Borelschen Mengen der komplexen Ebene, so dass T = ∫ z dE(z). Dadurch lässt sich jeder Borel-funktion f durch f(T) definieren, wiederum als ∫ f(z) dE(z). Folglich besitzt T eine funktionale Kalkül, und σ(f(T)) = f(σ(T)).

Beispiele und Verbindungen: Selbstadjungierte Operatoren (realere Spektren) und unitäre Operatoren gehören zu den Normaloperatoren. In L^2-Räumen lassen sich Multiplikationsoperatoren oder Diagonaloperatoren als Normaloperatoren darstellen. Der Begriff umfasst damit eine weitreichende Allgemeinheit, deren zentrale Rolle im Spektraltheorem und der Funktionalkalkül liegt.