Trinomialbäumen

Trinomialbäumen sind rekombinierende lattice-basierte Verfahren zur diskretisierung der Preisdynamik des zugrunde liegenden Wertpapiers und zur Bewertung von Optionen sowie anderen Derivaten. Im Baum kann der Preis in jedem Zeitschritt in drei Richtungen verlaufen: nach oben, unverändert oder nach unten. Dadurch entsteht ein dreizweigiger Knotenprozess, der sich gegenüber dem klassischen Binomialbaum durch eine größere Flexibilität bei der Abbildung der Preisverteilung auszeichnet.

Beim Aufbau eines Trinomialbaums wird pro Zeitschritt eine Zeiteinheit Δt festgelegt. Man wählt drei Preisfaktoren, üblicherweise u > 1, m ≈ 1 und d < 1, so dass die Preise auf dem Baum recombinieren, d. h. verschiedene Pfade zum selben Preis zusammenlaufen. Die drei Folgeknoten eines Knotens entsprechen S·u, S·m und S·d. Die Wahrscheinlichkeiten p_u, p_m, p_d für die drei Bewegungen werden so gewählt, dass sie addieren zu 1 und in der risikoneutralen Maßnahme die ersten Momente der Preisentwicklung (Expected Value und Varianz) adäquat abbilden.

Für die Bewertung von Optionen wird der Wert am Endknoten mit der jeweiligen Payoff-Funktion festgesetzt und durch Rückwärtsrechnung ermittelt. In jedem vorhergehenden Knoten gilt: V(Knoten) = e^{-rΔt} [p_u·V(oben) + p_m·V(mitte) + p_d·V(unten)], wobei r der risikofreie Zinssatz ist. Amerikanische Optionen nutzen zusätzlich die frühzeitige Ausübung, indem der Wert des Knotens mit dem Ausübungswert verglichen wird.

Vorteile des trinomialen Baums gegenüber dem Binomialbaum liegen in einer oft besseren Annäherung größerer Schrittweiten, einer stabileren Abbildung von Optionen mit Dividenden oder hohen Graden, sowie einer effektiveren Preisbildung amerikanischer Optionen. Trinomialbäume finden Anwendung in der Preisbildung von Aktien-, Indizes- und Zinsderivaten sowie in der Risikoanalyse und sind in verschiedenen Varianten, etwa nach Cox–Ross–Rubinstein oder Boyle, implementierbar.