Transformierungen

Transformierungen bezeichnet in der Mathematik allgemein Abbildungen, die Elemente einer Menge in Elemente derselben oder einer anderen Menge überführen. Oft wird der Begriff in speziellerem Sinn für Struktur-erhaltende Abbildungen verwendet, die bestimmte Merkmale des Ausgangssystems bewahren oder respektieren.

In der Geometrie unterscheidet man verschiedene Klassen von Transformierungen. Translationen verschieben alle Punkte um einen festen Vektor. Rotationen drehen Objekte um einen Punkt, Spiegelungen reflektieren an einer Achse, und Skalierungen vergrößern oder verkleinern Abstände. Affine Transformationen kombinieren eine lineare Abbildung mit einer Verschiebung und bewahren Parallelität; projektive Transformationen beschreiben Perspektivveränderungen und berücksichtigen den Strahlenversatz.

Lineare Transformierungen sind Abbildungen zwischen Vektorräumen, die Additivität und Homogenität erfüllen. Jede lineare Transformation lässt sich durch eine Matrix darstellen. Sind die Spaltenvektoren der Darstellungsliste invertierbar (Determinante ungleich Null), ist die Transformation bijektiv und besitzt eine Umkehrtransformation. In der Ebene oder im Raum führen Eigenwerte und Eigenvektoren charakteristische Richtungen an, entlang derer sich Punkte unter der Transformation wie durch Skalierung bewegen.

Weitere Transformierungen finden Anwendung in der Analysis und Physik. Integrale Transformationsformen wie die Fourier- oder die Laplace-Transformation wandeln Funktionen zwischen verschiedenen Darstellungen (Zeit-/Raum- zu Frequenz-/komplexer Ebene) um. Koordinatentransformationen, etwa Lorentz- oder Galileitransformationen, wechseln das Bezugssystem, ohne die physikalischen Gesetze zu verändern. In der Praxis dienen Transformierungen dazu, Probleme zu vereinfachen, Daten zu analysieren oder Modelle zu beschreiben.