Tijdsintervalprocessen

Tijdsintervalprocessen zijn een klasse van stochastische processen waarbij de indexering niet draait om afzonderlijke tijdpunten, maar om tijdsintervallen. Voor een interval I = [s,t] kan een tijdsintervalproces X(I) een willekeurige grootheid zijn die het gedrag van een onderliggende process op dat interval samenvat. Een veelvoorkomende eigenschap is additiviteit: voor disjuncte intervallen I en J geldt X(I ∪ J) = X(I) + X(J).

Net als bij andere set-indexed processen worden de variabelen vaak gedefinieerd voor een verzameling intervallen en moeten ze voldoen aan consistente regelingen bij insnijden, uitsnijden en samenvoegen van intervallen. In sommige formuleringen wordt ook rekening gehouden met stationariteit met betrekking tot de lengte van het interval, zodat X([s,t]) afhangt van de duur t-s onder bepaalde aannames. Het verwachtings- en covariantiemodel kan afhankelijk zijn van lengte of van de specifieke locatie in de tijd, afhankelijk van de toepassing.

Een gangbaar voorbeeld is het occupancy- of tijdsduurproces, waarbij X([s,t]) de totale tijd aangeeft waarin een onderliggende toestand voldoet aan een criterium in het interval [s,t]. Een andere instantiatie is X([s,t]) = ∫_s^t 1{Z(u) in A} du, waarbij Z een onderliggend stochastisch proces is en A een gebeurtenisgebied.

Verbanden met meer bekende processen bestaan uit het opbouwen van set-indexed of tijdsintervalgerelateerde grootheden uit tellende processen zoals N(t) (het aantal gebeurtenissen tot tijd t) en uit cumulatieve tijdsduraties. Toepassingen komen voor in betrouwbaarheid, biomedische statistiek, finance en natura- of energiedoeleinden waar men geïnteresseerd is in de duur of omvang van toestanden over meerdere tijdsintervallen.

Theoretisch worden tijdsintervalprocessen bestudeerd binnen de bredere theorie van set-indexed stochastic processes en gerelateerde constructies met random measures, wat flexibiliteit biedt bij modellering van termijn- en duurgerelateerde verschijnselen.