Teilrotationen

Teilrotationen bezeichnet man in der Geometrie als Rotationen, die nur auf eine zweidimensionale Unterraumebene wirken und den Rest des Raums unverändert lässt. Formal sei der Raum ein realer euklidischer Raum R^n. Wähle eine zweidimensionale Unterraumebene U ⊂ R^n und eine Drehung R_theta in U um den Winkel theta. Dann ist T = R_theta auf U und T|_{U^⊥} = Id der Identität. Die zugehörige Orthogonalitätsmatrix hat die Form diag(R_theta, I_{n-2}). Solche Transformationen werden häufig als Teilrotationen bezeichnet, weil sie nur einen Teil des Raums drehen.

Beispiele: In R^3 ist eine Drehung um die z-Achse eine Teilrotation, da sie die xy-Ebene dreht und den z-Achsen-Raumpunktweise unverändert lässt. In R^4 kann man eine Drehung in der xy-Ebene durchführen und alle anderen Koordinaten festhalten, was ebenfalls eine Teilrotation ist.

Eigenschaften: Die Eigenwerte von T bestehen aus e^{±iθ} in der rotierenden Ebene und 1 mit der Vielfachheit n−2 auf dem festen Unterraum. Das Determinantenprodukt beträgt 1, da es sich um eine reine Rotation in einer Ebene mit Erweiterung durch die Identität handelt. Teilrotationen sind orthogonale Transformationen und lassen sich als Elemente von SO(n) beschreiben, die konjugiert zu diag(R_theta, I_{n-2}) sind. Sie spielen eine Rolle in der Spektraltheorie schiefer Matrizen und in der konstrukiven Zerlegung allgemeiner Rotationen in Ebenendrehungen.

Anwendungen: Teilrotationen ermöglichen eine kompakte Beschreibung von Bewegungen, die nur einen Teil eines Systems betreffen, etwa in der Computergrafik zur Animation, in der Robotik bei Bewegungsplanning mit Gelenken oder in der Kristallographie bei der Zerlegung von Symmetrieoperationen.

Siehe auch: Rotation, SO(n), Orthogonale Transformation, Blockdiagonal-Matrix.