Determinantenprodukt

Determinantenprodukt bezeichnet in der linearen Algebra die Eigenschaft der Determinante, Produkte von Matrizen abzubilden. Für quadratische Matrizen A und B derselben Größe über einem Körper gilt die Multiplikativität det(AB) = det(A) det(B). Diese Eigenschaft erstreckt sich auf beliebige endliche Produktfolgen: det(A1 A2 ... An) = det(A1) det(A2) ... det(An).

Zu den Folgerungen gehören unter anderem det(A^k) = det(A)^k, det(I) = 1 und det(A) = 0 genau dann, wenn A singulär ist. Ist A invertierbar, gilt außerdem det(A^{-1}) = 1/det(A). Die Determinante ist zudem das Produkt der Eigenwerte von A (mit algebraischer Vielfachheit). Bei diagonalisierten Matrizen entspricht det(A) dem Produkt der Diagonaleinträge. Für eine obere oder untere Dreiecksform einer Matrix ergibt det(A) ebenfalls das Produkt der Diagonaleinträge.

Die Multiplikativität hat eine geometrische Interpretation: Die Determinante misst den Flächen- bzw. Volumen-Skalierungsfaktor einer linearen Abbildung. Die Komposition zweier Abbildungen skaliert das betreffende Maß durch das Produkt der einzelnen Skalierungsfaktoren, was sich in det(AB) = det(A) det(B) widerspiegelt.

Anwendungen des Determinantenprodukts finden sich in der Beweistechnik der Multiplikativität, in der Berechnung von Determinanten großer Matrizen durch Zerlegung, in Blockmatrizen-Formeln sowie in der Theorie der linearen Gleichungssysteme.