Superfícies

Superfícies são objetos geométricos de dimensão dois que, no espaço tridimensional, podem ser entendidas como subconjuntos que, localmente, se assemelham a um plano. Na geometria diferencial, uma superfície é frequentemente descrita como uma variedade suave de dimensão dois embutida em R^3, o que permite definir planos tangentes, curvas geodésicas e curvaturas locais.

Uma superfície regular possui uma parametrização suave r(u,v) de um domínio U em R^2 para R^3, de modo que os vetores parciais ∂r/∂u e ∂r/∂v sejam linearmente independentes. Alternativamente, pode ser definida por uma equação implícita F(x,y,z)=0 com o gradiente não nulo em cada ponto, o que garante que o conjunto seja suave e sem singularidades.

Exemplos clássicos incluem a superfície plana, a esfera, o cilindro, o cone e o toro. Também existem superfícies especiais, como o paraboloide hiperbólico, bem como superfícies de revolução e superfícies algébricas definidas por polinômios em x, y e z.

Propriedades geométricas importantes incluem as curvaturas gaussiana K e média H, que descrevem o comportamento local da superfície em direções diferentes. Superfícies podem ser orientáveis ou não; as desenvolvíveis possuem K = 0 em todo ponto. Em física e engenharia, a curvatura está relacionada a tensões, geodésias e propriedades de interfaces.

Em computação gráfica e modelagem, as superfícies são frequentemente discretizadas por malhas de polígonos para representação digital. Em matemática, estudam-se superfícies para entender propriedades locais e globais por meio de técnicas de geometria diferencial.