subconjuntos

Subconjuntos es una relación entre conjuntos que describe cuándo todos los elementos de un conjunto están también en otro. Si A es un subconjunto de B, se escribe A ⊆ B y significa que todo elemento de A pertenece a B.

La noción de subconjunto puede distinguirse entre subconjunto y subconjunto propio. A es subconjunto propio de B si A ⊆ B y A ≠ B. En algunas obras se utiliza la notación A ⊂ B para indicar subconjunto propio, mientras que otras usan ⊂ para subconjunto en general. Ejemplos clásicos: ∅ ⊆ A para cualquier conjunto A, y A ⊆ A (propiedad reflexiva).

Propiedades fundamentales: el subconjunto es una relación reflexiva (A ⊆ A), transitiva (si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C) y antisimétrica (si A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A = B). Estas propiedades hacen del subconjunto una relación de orden en el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Conservación bajo operaciones: si A ⊆ B y C es cualquier conjunto, entonces A ∪ C ⊆ B ∪ C; y si A ⊆ B, entonces A ∩ C ⊆ B ∩ C. También, si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B| en términos de cardinalidad.

Relación con el universo: si U es el conjunto universal, cualquier subconjunto A de U satisface A ⊆ U. El concepto de subconjunto es central en teoría de conjuntos, combinatoria y áreas afines, y facilita la comparación y construcción de colecciones de elementos.