orientáveis

Orientáveis é o adjetivo aplicado a espaços ou variedades que admitem uma orientação global consistente. Em topologia, orientar um espaço significa escolher, de forma contínua, uma direção de orientação (por exemplo, distinguir sentido horário de anti-horário) que permaneça compatível em todo o espaço. Formalmente, uma variedade é orientável se é possível equipá-la com uma orientação que não dependa do ponto, ou, alternativamente, se as transições entre cartas do atlas preservam essa orientação.

Exemplos comuns ajudam a esclarecer o conceito. Espaços como a esfera S^2 e o toro T^2 são orientáveis. Fitas de Möbius, a casca de Klein (Klein bottle) e o plano projetivo real RP^2 são exemplos de objetos não orientáveis. Entre objetos mais gerais, a orientabilidade de um espaço pode depender de propriedades topológicas profundas, como a existência de uma forma diferencial top-dimensional não nula.

Características e consequências: uma variedade é orientável se admite uma forma diferencial topo-dimensão não nula em todo o espaço, ou, equivalentemente, se existe um atlas cujas transições entre cartas têm determinante positivo. Em uma variedade conectada orientável, existem exatamente duas orientações distintas (preferências de sentido oposto), trocadas por uma mudança de orientação global.

Aplicações: a orientação é essencial para definir integrais de formas diferenciais e para o uso do teorema de Stokes. Na física, a orientabilidade (e, às vezes, a orientação temporal) é relevante em teorias que dependem de noção de fluxo, conservação e de integrais geométricos, como na relatividade geral.