SubspaceMethoden

SubspaceMethoden, im Deutschen oft als Subraum-Verfahren bezeichnet, sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung großer, oft spärlicher linearer oder nichtlinearer Probleme. Der Kern liegt darin, das Problem auf einen kleineren Unterraum zu projizieren. In der Regel besteht der Ansatz aus zwei Schritten: Aufbau eines Unterraums durch wiederholte Anwendung des Operators auf Vektoren und Lösung des Problems in dem projektionsbasierten Unterproblem, oft mittels Rayleigh-Ritz-Verfahren. Durch iterative Erweiterung des Unterraums nähern sich die gesuchten Größen, wie Eigenwerte und Eigenvektoren oder die Lösung eines linearen Gleichungssystems, schrittweise an.

Zu den wichtigsten Subraum-Methoden gehören Krylov-Unterraum-Verfahren wie Lanczos und Arnoldi zur Bestimmung mehrerer Eigenwerte oder der ganzen Spektralverteilung, sowie lineare Solver wie GMRES, MINRES und CGS. Weitere Techniken sind Subraum-Iteration, Jacobi-Davidson-Methoden und blockierte Varianten wie LOBPCG. Viele dieser Verfahren verwenden Vorbedingungen (Preconditioners), um die Konvergenz zu beschleunigen.

Anwendungsgebiete umfassen große, spärliche Matrizen aus Ingenieurwesen, Quantenchemie, Strukturmechanik, Computational Fluid Dynamics sowie Bild- und Signaldatenanalyse. Vorteile der Subraum-Verfahren sind geringe Speicheranforderungen im Vergleich zu direkten Verfahren und gute Skalierbarkeit bei vielen gesuchten Eigenwerten oder beim Lösen mehrerer Rechte Seiten. Nachteile schließen Empfindlichkeit gegenüber Konditionierung und Orthogonalitätsverlust ein; der Erfolg hängt stark von einer geeigneten Vorbedingung ab. Die Methodik hat sich aus dem Potenzverfahren entwickelt und wurde durch Lanczos- und Arnoldi-Verfahren in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu einem fundamentalen Werkzeug für große Systeme.