Subsemigroepen

Een semigroup is een niet-leeg verzamel­ing S met een associatieve binaire bewerking die op S behoort. Een subsemigroup H van S is een niet-lege subset H ⊆ S die gesloten is onder deze bewerking: voor alle a, b in H geldt a ⋅ b ∈ H. Met de beperkende bewerking op H wordt H zelf een semigroup. Als S een monoid is (dus er bestaat een identiteit element), dan is een subsemigroup die ook de identiteit bevat een submonoid; in de literatuur worden zulke objecten soms synoniem aan submonoids genoemd.

Voorbeelden tonen de generaliteit van het concept. In (N, +) vormen de even getallen een subsemigroup; in (N, ×) vormen de veelvouden van een vast getal n een subsemigroup. In een groep is elke subgroep ook een subsemigroup, maar subsemigroepen vereisen geen inversen of identiteit.

Generatie: voor een subset A ⊆ S is ⟨A⟩ de kleinste subsemigroup die A bevat. Deze bestaat uit alle finite producten van elementen van A, bijvoorbeeld a1a2…ak met k ≥ 1 en ai ∈ A. Als S een monoid is, kan ⟨A⟩ ook de identiteit bevatten afhankelijk van de aanwezigheid van een neutraal element.

Eigenschappen en relaties: de doorsnede van subsemigroepen is weer een subsemigroup. De vereniging van twee subsemigroepen is in het algemeen geen subsemigroup, en ook het product van twee subsemigroepen hoeft niet gesloten te blijven zonder extra aannames.

Homomorfismen: als φ: S → T een semigroephomomorfisme is en H een subsemigroup van S, dan φ(H) is een subsemigroup van T. Het omgekeerde geldt voor preimages: als K een subsemigroup van T is, dan φ⁻¹(K) is een subsemigroup van S. Subsemigroepen vormen zo een fundamenteel concept in de studie van semigroepsstructuren.