Struktureinbettung

Struktureinbettung bezeichnet in der Mathematik und verwandten Disziplinen eine Abbildung von einer Struktur A in eine Struktur B, die die wesentlichen strukturellen Eigenschaften von A bewahrt. Typischerweise bedeutet dies, dass Operationen, Relationen und weitere Strukturinformationen durch die Abbildung erhalten bleiben.

In der Algebra bedeutet eine Struktureinbettung meist einen injektiven Homomorphismus von A nach B, dessen Bild eine Unterstruktur von B bildet. Ein bekanntes Beispiel ist die natürliche Einbettung von Z in Q, wobei Z als Unterring von Q gesehen wird.

In der Modelltheorie bezeichnet man eine Abbildung als Einbettung, wenn sie die Interpretation der Funktions- und Relationensymbole erhält. Eine elementare Einbettung bewahrt darüber hinaus alle Formeln erster Ordnung, wodurch A und B hinsichtlich erster Ordnungseigenschaften identisch bleiben.

In der Graphentheorie und Netztheorie bezeichnet Struktureinbettung oft eine Abbildung der Knotenmenge eines Graphen G in einen Graphen H, die Nachbarschaften (und je nach Variante auch Distanzen) erhält. Bei bijektiver Abbildung spricht man von einer Isomorphie; isometrische oder distanz­erhaltende Einbettungen wahren zusätzlich Abstände.

Anwendungen finden sich in Mathematik, Informatik und Datenwissenschaft: Struktureinbettungen ermöglichen es, abstrakte Strukturen in Repräsentationen zu überführen, etwa Graph-Einbettungen in maschinellem Lernen, Wissensgraph-Einbettungen oder strukturelle Einbettungen in der natürlichen Sprachverarbeitung, die syntaktische Strukturen in Vektorräume abbilden.