StateSpaceModelle

StateSpaceModelle, auch Zustandsraummodelle genannt, sind ein mathematischer Rahmen zur Beschreibung dynamischer Systeme über einen endlichen Zustandsvektor. Sie trennen den inneren Zustand von äußeren Signalen und beschreiben, wie sich der Zustand im Zeitverlauf entwickelt und wie Ausgänge aus dem Zustand und den Eingängen abgeleitet werden. Der Ansatz ist allgemein, flexibel und in vielen Disziplinen wie Regelungstechnik, Signalverarbeitung, Physik oder Ökonomie verbreitet.

In der diskreten Zeit hat ein Zustandsraummodell typischerweise die Form x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k, y_k = C x_k + D u_k + v_k, wobei x der Zustandsvektor, u der Eingangsvektor, y der Ausgang und w_k, v_k Prozess- bzw. Messrauschen darstellen. In der kontinuierlichen Zeit lauten die Gleichungen dx/dt = A x + B u + w, y = C x + D u + v. Die Matrizen A, B, C, D charakterisieren Systemdynamik, Eingangs- und Ausgangsbeziehungen.

Vorteile sind die Generalität, die Fähigkeit zur Modellierung mehrerer Eingänge und Ausgänge (MIMO), sowie die Kompatibilität mit diskreter oder kontinuierlicher Zeit und linearer oder nichtlinearer Erweiterung. Für lineare Modelle erleichtert dies Analyse und Regelung erheblich. Zustandsraummethoden ermöglichen effiziente Zustands- und Ausgangsschätzung mittels Beobachtern und Filtern. Typische Identifikationsaufgaben zielen darauf ab, die Matrizen A, B, C, D aus Messdaten zu schätzen. Nichtlineare Varianten verwenden f(x,u,t) und h(x,u,t) und werden durch erweiterte Kalman-Filter, UKF oder Partikelfilter bearbeitet.

Anwendungsfelder umfassen Regelungstechnik, Robotik, Signalverarbeitung, Ökonomie sowie Klimamodellierung. Die Zustandsraummodellierung bietet eine robuste, modular aufbaubare Basis zur Modellierung dynamischer Systeme.

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