SaintVenantvergelijkingen

Saint-Venantvergelijkingen, ook wel de ondiepwatervergelijkingen genoemd, vormen een set van hyperbolische partiële differentiaalvergelijkingen die het ondiepe, vrije-oppervlakstroomverschijnsel beschrijven door de Navier–Stokes-vergelijkingen te verticale-averagen. Ze worden toegepast op open-kanalen, rivieren en kustzones waar de waterlaag dun is ten opzichte van de lengteschaal.

In de 1D-vorm wordt gewerkt met h als waterdiepte en u als dieptegemiddelde snelheid. De continuïteitsvergelijking luidt: ∂h/∂t + ∂(u h)/∂x = 0. De bewegingsvergelijking (momentum) is: ∂(u h)/∂t + ∂(u^2 h + 1/2 g h^2)/∂x = g h (S0x − Sf). Hier is g de zwaartekracht, S0x de bedhellingscomponent en Sf de wrijvingshelling (meestal via een empirische wettijder zoals Manning of Chezy). In 2D voegen zich de termen voor y-variatie en de velocity component v toe; de continuïteitsvergelijking wordt dan ∂h/∂t + ∂(u h)/∂x + ∂(v h)/∂y = 0 en er bestaan vergelijkingen voor ∂(u h)/∂t en ∂(v h)/∂t.

Belangrijke aannames zijn onder meer hydrostatische drukverdeling, relatief ondiepe laag (diepte klein ten opzichte van lengteschalen) en verticale snelheid als verwaarloosbaar. Wrijvingsverliezen komen meestal via empirische wetten (Manning, Chezy) in de wrijvingsterm.

Toepassingen omvatten onder meer rivierhydraulica, flood forecasting, dam- en dijkdoorbraakstudies, en kuststromingsmodellering. Numerieke oplossingen maken vaak gebruik van eindige-volume-/Riemann-ontwikkelde schemes en welgebalanceerde methoden om droge-watervoorwaarden en schocks te behandelen. Uitbreidingen omvatten niet-hydrostatistische modellen (Green–Naghdi), dispersieve benaderingen (Boussinesq) en viscose aanpassingen. De vergelijking is vernoemd naar Adhémar Barré de Saint-Venant uit de 19e eeuw.