Rotationskörper

Rotationskörper, auch Körper durch Rotation genannt, sind dreidimensionale Objekte, die entstehen, wenn eine ebene Region R in der Ebene um eine feste Gerade l rotiert wird. Die Gerade l nennt man Rotationsachse. Die Form des Körpers hängt von der Lage von R zur Achse ab und lässt sich oft durch analytische Funktionen beschreiben.

Typische Rotationskörper ergeben sich aus der Rotation einfacher Generierungskurven. Wird zum Beispiel eine Halbkreiskurve um ihren Durchmesser rotiert, entsteht eine Kugel. Wird ein Rechteck um eine seiner Seitenachse gedreht, entsteht ein Zylinder. Ein rechtwinkliges Dreieck rotiert um eine Kathete ergibt einen Kegel. Dreht man einen Kreis um eine außerhalb der Kreislinie liegende Achse, erhält man einen Torus.

Volumen und Fläche: Zur Berechnung des Volumens verwendet man häufig das Disk/Washer-Verfahren: V = π ∫ [f(x)^2 − g(x)^2] dx über das Intervall [a,b], wobei f ≥ g die obere bzw. untere Funktion beschreibt und die Rotation um die x-Achse erfolgt. Für Rotationen um die y-Achse bietet sich das Shell-Verfahren an: V = 2π ∫ x [f(x) − g(x)] dx. Das Pappus-Theorem liefert V = A · 2π d, wobei A die Rotationsfläche der erzeugenden Region und d der Wegabstand des Schwerpunktes ist.

Oberflächeninhalt: Um die x-Achse rotierte Oberflächen S = ∫ 2π f(x) √(1 + (f′(x))^2) dx; um die y-Achse rotierte Oberflächen S = ∫ 2π x √(1 + (f′(x))^2) dx.

Anwendungen reichen von geometrischen Berechnungen über Physik und Technik bis zur Analyse von Massenverteilungen.