Rombergintegratie

Rombergintegratie is een numerieke methode voor de berekening van definite integrals, die trapeziumregels combineert met Richardson-extrapolatie om de convergentie versneld te doorlopen. Het doel is een nauwkeurige benadering van I = ∫_a^b f(x) dx met een minimale hoeveelheid functiewaarderingen.

De werkwijze luidt als volgt: bereken de trapeziumregel T(h) voor een reeks stapgroottes h = (b-a)/2^m, met m = 0,1,2,.... Voor elke m wordt T_m = T(h_m) verkregen. Deze waarden vormen de eerste kolom van een Romberg-tabel, R(m,0) = T_m. Voor k ≥ 1 wordt de extrapolatiestap toegepast: R(m,k) = (4^k R(m,k-1) - R(m-1,k-1)) / (4^k - 1), waarbij R(m,k) een verbeterde schatting is van de integrale waarde. De sleutel is dat de foutterm van de trapezudemethode als een evenveelvoud h^2 + O(h^4) kan worden geëlimineerd door deze extrapolaties, waardoor hogere orde termen beschikbaar komen.

Convergentie en eigenschappen: voor een glad function f heeft de trapeziumregel een foutorde O(h^2). Door extra extrapolaties stijgt de orde naar O(h^{2k+2}) bij R(m,k). Hierdoor kan Rombergintegratie met relatief weinig evaluaties zeer nauwkeurige resultaten leveren vergeleken met eenvoudige regels. Praktisch wordt gestopt wanneer de verandering tussen opeenvolgende extrapolaties of een absolute foutgrens onder een gewenste drempel valt.

Beperkingen en toepassingsgebied: Rombergintegratie vereist een redelijk glad integraaloppein en kan slecht presteren bij singulariteiten of sterke oscillaties. Voor dergelijke gevallen kunnen adaptieve of gespecialiseerde methoden geschikter zijn. Het is een niet-adaptieve maar efficiënte methode voor veel standaard integranden en vormt een klassieke techniek in numerieke analyse.