Proyectivas

Proyectivas es un término usado en geometría proyectiva para describir objetos y transformaciones dentro de ese marco. En particular, una transformación proyectiva (o mapa proyectivo) es una biyección de un espacio proyectivo que lleva líneas a líneas y preserva el cross-ratio de cuatro puntos colineales. En el plano proyectivo real, estas transformaciones pueden representarse mediante matrices 3x3 no singulares en coordenadas homogéneas: un punto se escribe [x:y:z] y su imagen es [x':y':z']^T = M [x:y:z]^T, con dos vectores que difieren por un escalar representando el mismo punto. El conjunto de todas las transformaciones proyectivas del plano forma el grupo PGL(3, R) y tiene dimensión 8.

Los mapas proyectivos no conservan distancias ni ángulos en general, pero preservan la incidencia y el cross-ratio de cuatro puntos sobre una recta. Esta propiedad es clave para caracterizar configuraciones proyectivas y para la consistencia de las relaciones entre puntos.

Existen dos grandes tipos: transformaciones del plano a plano y transformaciones duales, que intercambian el papel de puntos y líneas. El estudio de las proyectivas abarca conceptos como la dualidad, el uso de coordenadas proyectivas y la construcción de invariantes como el cross-ratio.

Aplicaciones: visión por computadora, gráficos por computadora y renderizado, reconstrucción 3D y modelado de escenas en perspectiva, entre otros campos. La geometría proyectiva también forma la base de métodos de análisis y modelado en áreas como la visión artificial y el diseño geométrico.

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