PredictorCorrectorVerfahren

Predictor-Corrector-Verfahren sind eine Klasse von numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen. Sie kombinieren einen Vorhersageschritt (Predictor), mit dem eine Schätzung der Lösung am nächsten Stützpunkt gewonnen wird, und einen Korrekturschritt (Corrector), der diese Schätzung mithilfe der Ableitung f(t, y) feiner justiert. Ziel ist es, durch wiederholte Anwendungen von Vorhersage und Korrektur eine höhere Genauigkeit zu erreichen.

In der Regel arbeitet man mit Gleichungen der Form y' = f(t, y), y(t0) = y0, und einer Schrittweite h. Der Predictor liefert y_p^{n+1} als explizite Prognose, beispielsweise mittels eines Adams-Bashforth-Verfahrens. Anschließend wird der Funktionswert f(t_{n+1}, y_p^{n+1}) verwendet, um y^{n+1} durch ein Korrekturformel zu berechnen, etwa eine Adams-Moulton- oder eine trapezregelbasierte Korrektur. In vielen Implementationen lässt sich der Korrektor mehrmals anwenden, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Varianten umfassen klassische Mehrschritt-Verfahren wie Adams-Bashforth / Adams-Moulton, sowie kombinierte explizite Vorhersage und implizite Korrektur. Predictor-Corrector-Verfahren ermöglichen oft adaptives Schrittweiten- und Fehler-Management, indem der lokale Fehler geschätzt wird und die Schrittweite entsprechend angepasst wird. Sie werden bevorzugt eingesetzt, wenn eine Balance zwischen Effizienz und Genauigkeit gewünscht ist, insbesondere bei nichtstarren Anfangswertproblemen. Nachteile sind der erhöhte Rechenaufwand pro Schritt und mögliche Stabilitätsprobleme bei bestimmten Gleichungen oder sehr großen Schrittweiten. Anwendungen finden sich in der numerischen Lösung von ODEs in Wissenschaft und Technik.