AdamsBashforthVerfahrens

Das Adams-Bashforth-Verfahren, auch als Adams-Bashforth-Verfahren bekannt, ist eine Familie expliziter linearer Mehrschritt-Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs). Typische Aufgabenstellung ist ein Anfangswertproblem der Form y' = f(t, y) mit y(t0) = y0. Die Methode nutzt mehrere vorhergehende Funktionswerte f(t_n, y_n), um den nächsten Wert y_{n+1} zu berechnen, und arbeitet mit einem festen Schrittweitenparameter h.

Die Adams-Bashforth-Verfahren werden abgeleitet, indem man f t, y durch Polynomhülle der vergangenen Werte approximiert und dieses Polynom über das Intervall [t_n, t_{n+1}] integriert. Dadurch ergibt sich eine explizite Formel, bei der y_{n+1} in Abhängigkeit von y_n und den vorherigen Funktionswerten f_n, f_{n-1}, ... f_{n-k+1} berechnet wird. Die Ordnung des Verfahrens entspricht der Anzahl der verwendeten Vorwerte (k). Typische Beispiele sind AB2, AB3 und AB4.

Beispiele für konkrete Formeln sind:

- AB2: y_{n+1} = y_n + h/2 [3 f_n − f_{n-1}]

- AB3: y_{n+1} = y_n + h/12 [23 f_n − 16 f_{n-1} + 5 f_{n-2}]

- AB4: y_{n+1} = y_n + h/24 [55 f_n − 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} − 9 f_{n-3}]

Startvoraussetzung und Stabilität: Da es sich um ein explizites Mehrschritt-Verfahren handelt, benötigt man zum Start die ersten k−1 Werte, die oft mit einem anderen Verfahren (z. B. Runge-Kutta) erzeugt werden. Die Adams-Bashforth-Verfahren besitzen einen begrenzten Stabilitätsbereich und sind nicht A-stabil für k ≥ 2; sie eignen sich daher besser für nicht-stiff Probleme. Für verbesserte Stabilität und Genauigkeit werden häufig predictor-corrector-Varianten wie Adams-Bashforth-Moulton verwendet.

Anwendungen: Sie finden Einsatz in der numerischen Lösung von ODEs in Wissenschaft, Technik und Ingenieurwesen, insbesondere dann, wenn möglichst hohe Effizienz bei moderaten Stabiliskeitsanforderungen gewünscht ist.