Schrittweitenparameter

Schrittweitenparameter bezeichnet in der Numerik den Wert, der die Breite eines einzelnen Diskretisierungsschrittes festlegt. Typische Beispiele sind h = Δt in der Zeitintegration oder Δx in räumlich-zeitlichen Diskretisierungen. Der Parameter beeinflusst maßgeblich die Trunkationsfehler, die Konvergenz und die Stabilität der verwendeten Methode. Allgemein gilt: kleineres h reduziert die lokale und oft die globale Fehlergröße, erhöht aber Rechenaufwand.

In der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODE) mit expliziten Verfahren wie Euler, Heun oder Runge-Kutta bestimmt der Schrittweitenparameter, wie weit die Lösung pro Schritt fortschreitet. Explizite Methoden sind oft stabilitätssensitiv gegenüber h; zu großes h führt zu Instabilität. Implizite Verfahren erlauben in vielen Fällen größere h, erfordern aber die Lösung von Gleichungssystemen pro Schritt. Adaptive Schrittweitensteuerung passt h während der Integration an, um eine vorgegebene Fehlerschranke einzuhalten.

In partiellen Differentialgleichungen (PDE) und zeitabhängigen Problemen mit der CFL-Bedingung stellt der Schrittweitenparameter eine Stabilitätsgrenze dar, die von der Diskretisierung in Raum und Zeit abhängt, von der Wellen- oder Ausbreitungsgeschwindigkeit des Problems und von der gewählten Discretisierungsmethode.

In Optimierungsverfahren beschreibt der Schrittweitenparameter oft die Lernrate, etwa α im Gradientenabstieg. Zu große Schrittweiten können divergieren, zu kleine verzögern die Konvergenz. Häufig kommen line search oder adaptive Strategien zum Einsatz.

Eine gute Wahl ergibt sich durch Problemskalierung, Nicht-Dimensionalisierung und Fehlerschätzung; Softwarepakete implementieren häufig automatische Schrittweitensteuerung.