Trunkationsfehler

Trunkationsfehler bezeichnet in der numerischen Mathematik den Fehler, der entsteht, wenn ein unendlicher Prozess durch eine endliche Approximation ersetzt wird. Er ist eine Form der Diskretisierungsfehler und tritt auf, wenn eine unendliche Reihe, eine unendliche Differenzenfolge oder eine kontinuierliche Operation durch eine endliche Anzahl von Termen, Schritten oder Stützpunkten angenähert wird. Der Trunkationsfehler hängt von der gewählten Ordnung der Approximation, der Schrittweite und den Eigenschaften der zugrunde liegenden Funktion ab.

Ein klassisches Beispiel findet sich in der Taylorentwicklung. Für eine Funktion f mit der Entwicklung um a gilt f(x) = P_n(x) + R_n(x), wobei P_n eine Polynom der Ordnung n ist. Der Trunkationsfehler ist der Restterm R_n(x). Nach dem Restsatz R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x-a)^{n+1} für ein ξ zwischen a und x. Damit gilt |R_n(x)| ≤ M |x-a|^{n+1}/(n+1)! mit M = max_{ξ} |f^{(n+1)}(ξ)|.

In der Numerik von Differentialgleichungen oder Integrationsverfahren ist der Trunkationsfehler eng mit der Ordnung p des Verfahrens verknüpft: Der lokale Trunkationsfehler pro Schritt ist typischerweise O(h^{p+1}) und der globale Trunkationsfehler O(h^p), wobei h die Schrittweite ist. Adaptive Verfahren nutzen Abschätzungen des Trunkationsfehlers, um die Schrittweite dynamisch zu steuern und die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.

Unterscheidung von Rundungsfehlern: Trunkationsfehler resultiert aus der endlichen Repräsentation eines unendlichen Prozesses, während Rundungsfehler aus der begrenzten Zahldarstellung und -berechnung stammen. In der Praxis tritt oft eine Mischung beider Fehlerarten auf, deren Summe die Gesamtfehlerlage bestimmt.

Siehe auch: Rundungsfehler, Fehleranalyse, Stabilität numerischer Algorithmen.