Diskretisierungsfehler

Diskretisierungsfehler ist in der numerischen Mathematik der Unterschied zwischen der exakten Lösung eines kontinuierlichen Problems (etwa einer Differentialgleichung) und der durch Diskretisierung erhaltenen numerischen Lösung. Er entsteht, wenn Raum und Zeit oder Funktionenräume durch diskrete Strukturen ersetzt werden, zum Beispiel durch Finite-Differenzen-Methoden, Finite-Elemente-Methoden oder durch numerische Integrationsverfahren.

Ursachen sind die räumliche Diskretisierung mittels eines Gitters (mit Abstand h), die zeitliche Diskretisierung (Schrittgröße Δt) sowie die Approximation der Lösung durch Basisfunktionen oder quadraturbasierte Integrationen. Diskretisierungsfehler ist nicht mit Rundungsfehlern zu verwechseln, die durch endliche Wortlänge der Rechenoperationen entstehen.

Die Größenordnung des Diskretisierungsfehlers hängt von der Ordnung p des verwendeten Verfahrens ab. Typischerweise nimmt der Fehler mit einer Rate O(h^p) ab, wenn das Gitter verfeinert wird, bei zeitlichen Verfahren analog O(Δt^q). Die genaue Konvergenz hängt auch von der Glattheit der exakten Lösung ab; bei Unstetigkeiten oder starken Gradienten kann die Konvergenz langsamer ausfallen.

Zur Reduktion des Diskretisierungsfehlers werden feinere Gitter, höherwertige Elemente oder Differenzenquotienten mit höherem Ordnung eingesetzt. Adaptive Mesh-Refinement, verbesserte Integrationsschemata und Stabilisierungstechniken können ebenfalls helfen. In der Praxis gilt es, Diskretisierungsfehler gegen andere Fehlerquellen abzuwägen, insbesondere gegen Rundungs- und Modellierungsfehler.

Beispiele finden sich in der Lösung von Poisson-Gleichungen mit Finite-Differenzen oder Finite-Elemente-Methoden, der numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit Mehrschritt-Verfahren und in der zeitlichen Integration von PDEs. Diskretisierungsfehler ist ein zentrales Konzept bei der Beurteilung der Zuverlässigkeit von numerischen Simulationen.