Schrittweite

Schrittweite, häufig mit h bezeichnet, ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Diskretisierungspunkten oder Messpunkten, mit dem ein kontinuierlicher Prozess in eine diskrete Darstellung überführt wird. In der numerischen Mathematik spielt sie eine zentrale Rolle bei der Lösung von Differentialgleichungen, bei der Integration oder bei der Funktionennäherung.

In der numerischen Integration bestimmt die Schrittweite den Abstand im unabhängigen Parameter, oft Zeit t, zwischen zwei Berechnungspunkten. Je kleiner die Schrittweite, desto genauer die Approximation, doch steigt der Rechenaufwand. Die Fehlerschätzung hängt von der Ordnung des verwendeten Verfahrens ab: Das Euler-Verfahren hat globale Fehlerordnung O(h); höherwertige Verfahren wie Runge-Kutta erreichen bessere Genauigkeit.

Adaptive Schrittweitenverfahren passen h während der Berechnung automatisch an, um eine vorgegebene Fehlertoleranz zu erfüllen. Sie verwenden eine lokale Fehlerabschätzung, um bei Bedarf h zu erhöhen oder zu verringern, wodurch Rechenzeit effizient genutzt wird.

Stabilität: Bei expliziten Integrationsverfahren gelten oft stabilitätsbedingte Obergrenzen für die Schrittweite, insbesondere bei starren oder steifen Gleichungssystemen oder bei PDEs, die eine CFL-Beschränkung implizieren. Zu grobe Schrittweiten können zu Instabilität oder falschen Ergebnissen führen.

Außerhalb der Numerik findet sich der Begriff auch in anderen Bereichen: In der Signalverarbeitung bezeichnet Schrittweite das Sampling-Intervall, in der Robotik oder Bewegungsanalyse kann sie sich auf die Distanz zwischen aufeinanderfolgenden Positionsschätzungen oder Schritten beziehen.

Siehe auch: Abtasttheorie, Stabilität numerischer Verfahren, Adaptives Schrittweitensteuern, CFL-Bedingungen.