PosteriorIntervalle

Posteriorintervalle, im Deutschen oft als Glaubwürdigkeitsintervalle bezeichnet, sind im Bayesianen Inferenzrahmen Intervalle, die aus der posterioren Verteilung eines Parameters abgeleitet werden und die verbleibende Unsicherheit nach Berücksichtigung von Daten und Vorwissen zusammenfassen. Gegeben eine Beobachtung y und eine a priori Verteilung π(θ) ergibt sich die Posteriorverteilung p(θ|y) ∝ L(y|θ) π(θ). Ein Posteriorintervall I hat die Eigenschaft, P(θ ∈ I | y) = 1 − α. Beliebt sind gleichschließende Intervalle, bei denen die unteren und oberen Quantile so gewählt werden, dass jeweils α/2 der Verteilung außerhalb liegen; HPD-Intervalle (höchstwahrscheinlichkeitsdichte) minimieren die Breite und enthalten insgesamt 1 − α Wahrscheinlichkeit, wobei sie in unimodalen Fällen dem Bereich um den Modus entspricht.

Berechnung und Praxis: Analytisch lässt sich ein Posteriorintervall in einfachen, konjugierten Modellen ableiten; allgemein erfolgt die Bestimmung durch Monte-Carlo-Sampling aus der Posteriorverteilung (z. B. MCMC). Aus den Stichproben lassen sich Quantile bestimmen oder HPD-Regionen schätzen. Bei mehrdimensionalen Parametern lässt sich das Prinzip auf jedes Parameterpaar erweitern oder auf effiziente multivariate Intervalle verallgemeinern.

Interpretation und Unterschiede: Ein Posteriorintervall drückt eine Wahrscheinlichkeitssicherheit über den Parameter θ aus, gegeben y und die gewählte Prior. Im Gegensatz zu frequentistischen Konfidenzintervallen hängt die Interpretation der Posteriorintervalle von der Modell- und Priorannahme ab. Sie sind vertrauenswürdig im Sinne des Bayesianischen Paradigmas, aber nicht universell unabhängig von der gewählten Spezifikation; Sensitivitätsanalysen gegenüber Prior und Modell sind gängige Praxis.

Hinweise: Bei multimodalen Posteriors können HPD-Intervalle mehrteilig sein; gleichschließende Intervalle können asymmetrisch ausfallen, je nach Form der Posteriorverteilung.