Poissonverdeling

Poissonverdeling, of Poisson-distribution, is een discrete kansverdeling die het aantal gebeurtenissen in een vast interval beschrijft onder de aannames dat gebeurtenissen onafhankelijk plaatsvinden, met een constant gemiddeld tempo en dat twee of meer gebeurtenissen niet gelijktijdig plaatsvinden. De verdeling wordt beheerd door de parameter λ > 0, het verwachte aantal gebeurtenissen in het interval. De toevalsvariabele X neemt waarden aan in {0,1,2,...} met de kansmassa P(X = k) = e^{-λ} λ^k / k! voor k = 0,1,2,...

Het gemiddelde en de variantie zijn beiden gelijk aan λ. De momentgenererende functie is M_X(t) = exp(λ (e^t - 1)). De verdeling is geschikt voor tellingen wanneer gebeurtenissen zeldzaam zijn in kleine subintervalen en is de verdeling van de tellingen in een Poisson-proces. Voor een Poisson-proces met intensiteit λ geldt dat het aantal gebeurtenissen in een tijdsinterval van lengte t Poisson(λ t) is.

Een belangrijke relatie is dat de Poissonverdeling ontstaat als limiet van de binomiale verdeling: bij n → ∞, p → 0 en np = λ geldt Binomial(n, p) → Poisson(λ).

Schattings- en eigenschappen: de maximum likelihood-schatter van λ is het steekproefgemiddelde. Voor onafhankelijke Poisson-variabelen is de som ook Poisson: X + Y ~ Poisson(λ1 + λ2). De verdeling is scheef voor kleine λ en wordt bij grote λ steeds symmetrischer en benadert normaal.

Toepassingen omvatten wachtrijtheorie, telecommunicatie, biologie en betrouwbaarheidstechniek.