PoissonStatistik

Poissonstatistik bezeichnet die Anwendung der Poissonverteilung oder des Poissonprozesses zur Modellierung von Zählvorgängen. Sie wird verwendet, wenn in einem festgelegten Zeitraum oder Bereich Ereignisse unabhängig voneinander mit einer bestimmten mittleren Rate λ auftreten. Die Verteilung der gezählten Ereignisse K in einem Intervall lautet P(K = k) = e^{-λ} λ^k / k!, wobei k = 0,1,2,... . λ ist der erwartete Zählwert (Durchschnittsrate) und entspricht in der Poissonverteilung auch der Varianz von K.

Schätzung und Eigenschaften: Aus Beobachtungsdaten lässt sich λ üblicherweise als Maximum-Likelihood-Schätzer durch den Stichprobenmittelwert bestimmen. Typische Eigenschaften sind, dass Mittelwert und Varianz gleich λ sind. Bei Abweichungen spricht man von Über- oder Unterdispersion.

Bezug zu Prozessen: Der Poissonprozess ist ein stochastischer Zählprozess mit stationären, unabhängigen Zuwächsen; die Zuwächse in jedem Intervall folgen einer Poissonverteilung mit Parameter λ. Die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind exponentiell verteilt.

Anwendungen: Poissonstatistik wird häufig zur Modellierung von Defekten in Fertigung, Anrufen in einem Callcenter, Photonenzählungen in der Physik sowie in Epidemiologie und Verkehrsunfallstatistik eingesetzt. In der Praxis wird oft eine Poisson- oder Poissonregression verwendet, um Raten zu modellieren.

Begrenzungen: Die Annahmen setzen unabhängige, seltene Ereignisse voraus; bei Überdispersion gegenüber der Poisson-Verteilung ist alternative Modellierung nötig (z. B. negative Binomialverteilung). Die Güte des Modells lässt sich mit geeigneten Tests prüfen, z. B. Chi-Quadrat-Anpassung oder Residuenanalyse.