Zählvorgängen

Zählvorgänge, auch counting processes genannt, bezeichnet man in der Wahrscheinlichkeitstheorie Modelle, die die Anzahl von Ereignissen zählen, die bis zu einem bestimmten Zeitpunkt t auftreten. Typischerweise wird ein Zählvorgang N(t) als stochastischer Prozess betrachtet, der mit N(0)=0 beginnt, ganzzahlig Werte annimmt und nicht abnimmt. Die Zuwächse N(t2)-N(t1) zählen die Ereignisse im Intervall von t1 bis t2. Zählvorgänge ermöglichen es, Zeiträume mit diskreten Ereignissen zu modellieren, die stetig fortschreiten können oder diskret in der Zeit verlaufen.

Der bekannteste Vertreter ist der Poissonprozess. Bei ihm besitzen die Inkremente N(t2)-N(t1) unabhängige und stationäre Verteilungen; sie folgen einer Poisson-Verteilung mit Parameter proportional zur Länge des Intervalls. Eigenschaften wie die exponentielle Verteilung der Zwischenzeiten und die Gedächtnislosigkeit der Ereignisabstände machen den Poissonprozess zu einem Grundbaustein der Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeitsanalysen und Simulationsmodellen.

Weitere Typen umfassen den Renewalprozess, bei dem die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen identisch verteilte, unabhängige Zufallsgrößen sind, wodurch die Zählprozesse je nach Verteilung der Wartezeiten nicht stationär sein müssen. Hawkes-Prozesse bilden eine Klasse selbst-anknüpfender Zählvorgänge, bei denen Ereignisse die Entstehung weiterer Ereignisse in der Zukunft beeinflussen können.

Anwendungen von Zählvorgängen finden sich in der Praxis in Bereichen wie Verkehrs- und Ausfallstatistik, Risikobewertung, Epidemiologie, Neurophysiologie und Betriebsforschung. Sie dienen der Quantifizierung von Ankunftsraten, Ausfallzeiten, Ereigniszahlen über Zeiträume sowie der Entwicklung entsprechender Vorhersagemodelle.

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