Poissonprozesses

Der Poissonprozess ist ein stochastischer Prozess N(t), der die Anzahl von Ereignissen in einem kontinuierlichen Zeitintervall beschreibt. Er beginnt im Zeitpunkt 0 mit N(0)=0 und zeichnet sich durch unabhängige, stationäre Inkremente aus: Für 0 ≤ s < t gilt N(t)−N(s) ∼ Poisson(λ(t−s)), wobei λ>0 die Rate des Prozesses ist. In der homogenen Version ist die Rate konstant, und N(t) hat die Verteilung Poisson(λ t).

Die Ereignisse treten zu Sprüngen von Größe 1 auf, und die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen (Interarrivalzeiten) sind unabhängig und exponentiell mit Parameter λ verteilt. Folglich folgen die Ankunftszeiten einer Folge von Exponentialverteilungen, und E[N(t)]=λ t, Var(N(t))=λ t. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von N(t) lautet P(N(t)=k)=e^{−λ t} (λ t)^k / k!, für k=0,1,2,...

Pfad- und Strukturmerkmale: Die Pfade des Poissonprozesses sind rechtsstetig mit Sprüngen von Größe 1, daher sind sie piecewise konstant. Der Prozess besitzt die Eigenschaft der unabhängigen und stationären Inkremente und dient oft als Modell für zufällige Ankunftsprozesse.

Anwendungen und Varianten: Der Poissonprozess wird in der Warteschlangentheorie (z. B. M/M/1), in der Zuverlässigkeits- und Risikobewertung sowie in der Physik (Photonenzählung) eingesetzt. Varianten umfassen den nicht-homogenen Poissonprozess mit zeitlich variabler Rate λ(t) und den Poissonpunktprozess, der Ereignisse in einem Raum-Zeit-Raum abbildet. Der Poissonprozess bildet eine zentrale Modellklasse in der Stochastik.