Parametrisierbarkeit

Parametrisierbarkeit bezeichnet die Eigenschaft, ein geometrisches Objekt, eine Kurve, Fläche oder ein Modell durch eine Abbildung aus einem Parameterraum in den Objektbereich beschreiben zu können. Dabei wird das Objekt durch eine endliche Anzahl von Parametern beschrieben, die jedem Punkt des Objekts eindeutig bestimmten Parameterwerten zuordnen.

Unterschieden werden geometrische Parameterisierung, bei der Koordinatenfunktionen r(u, v, …) das Objekt festlegen, und algebraische bzw. rationale Parameterisierung, bei der die Koordinaten als rationale Funktionen der Parameter gegeben sind. In der Praxis wird häufig der Parameterraum als Intervall oder als Rechteck gewählt; in der Computergrafik kommen Bezier-, B-Spline- oder NURBS-Patches zum Einsatz, deren Geometrie durch zwei Parameter projiziert wird.

Beispiele: Eine Kreisparametrisierung r(t) = (R cos t, R sin t) zeigt eine einfache Kurve; eine Kugel lässt sich durch r(φ, θ) = (R sinφ cosθ, R sinφ sinθ, R cosφ) darstellen; Ellipsen und andere Flächen folgen ähnlichen Formen. Solche parametrischen Darstellungen ermöglichen Berechnungen, Rendering oder Optimierung innerhalb desselben Parameterraums.

Wichtige Eigenschaften sind die Nicht-Eindeutigkeit von Parameterisierungen und dass eine Reparametrisierung die Darstellung ändert, aber das Objekt unverändert lässt. Bei glatten Parametrisierungen ist oft die Regularität der Abbildung wünschenswert, etwa eine geeignete Jacobi-Matrix im betrachteten Gebiet. Nicht alle Objekte sind rational parametrisierbar: In der Algebraischen Geometrie bedeutet Rationalparametrisierung eine Darstellung durch rationale Funktionen des Parameters; viele Flächen oder Kurven besitzen jedoch keine solche Darstellung.