Parametrisatie

Parametrisatie is het proces waarbij een object of verschijnsel wordt beschreven met behulp van één of meer parameters. In de wiskunde en de toegepaste vakgebieden wordt vaak een parametrisatie gezien als een kaart die een interval of een gebied uit de euclidische ruimte afbeeldt op de figuur of het oppervlak dat men wil beschrijven. Een parametrisatie levert een representatie van de geometrie via functies x(t), y(t) (in het vlak) of x(u,v), y(u,v), z(u,v) (in de ruimte).

In de meetkundige context beschrijft men een kromme in het vlak vaak met een parametervoorstelling r(t) = (x(t), y(t)), waarbij t deel uitmaakt van een interval I. Een cirkel kan bijvoorbeeld worden beschreven door x(t) = cos t, y(t) = sin t met t in [0, 2π]. Voor oppervlakken in drie dimensies gebruikt men r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)); een bol kan worden beschreven met r(θ, φ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ).

Het doel van parametrisatie is het vergemakkelijken van analyse en berekeningen, zoals het bepalen van lengte en oppervlakte (lengte van een kromme: ∫|r′(t)| dt; oppervlaktes via ∬|r_u × r_v| dudv) en het vereenvoudigen van numerieke integraties en rendering. Parametrisaties zijn niet uniek: verschillende parametrisaties kunnen hetzelfde object beschrijven via reparametrisatie (compositie met een andere invertibele kaart). Belangrijke concepten zijn regulariteit en singulariteiten waar afgeleiden verdwijnen.

Toepassingen zijn wiskunde (differentiële meetkunde, coördinatenkaarten), computergraphics (parametrische oppervlakken zoals Bezier- en NURBS- oppervlakken), fysica (trajecten) en numerieke methoden (contourintegralen). Zie ook: parametervoorstelling, reparametrisatie.