Offdiagonaal

Offdiagonaal is een term die verwijst naar de elementen van een vierkante matrix die niet op de hoofddiagonaal liggen. De hoofddiagonaal bestaat uit de elementen aii (waar i gelijk is aan de rij- en kolomindex). De off-diagonaalelementen zijn dus alle aij met i ≠ j. In veel wiskundige contexten wordt de matrix ontleed in een diagonale(re) en een off-diagonale deel, bijvoorbeeld A = D + N, waarbij D de diagonaal is en N alle off-diagonal elementen bevat.

In lineaire algebra geven off-diagonale elementen aan hoeveel een basisvector invloed uitoefent op andere basisvectoren onder een lineaire transformatie. Als alle off-diagonale elementen in een gegeven basis nul zijn, werkt de transformatie onafhankelijk op elke component in die basis en is de matrix in die basis eenvoudig te interpreteren als een schaalverandering langs de assen. Halverwege tussen basiskeuzes kunnen off-diagonale elementen echter zorgen voor koppeling of interactie tussen componenten.

Veel voorkomende voorbeelden en toepassingen omvatten:

- In de statistiek geeft de covariance- of correlatiematix off-diagonale elementen weer hoe sterk twee variabelen met elkaar samenhangen.

- In natuurkunde en quantummechanica dragen off-diagonale elementen in een Hamiltoniaan of densitymatrix bij aan overgangen en coherenties tussen toestanden.

- In grafentheorie vertegenwoordigt een adjacency-matrix off-diagonale elementen relaties tussen knopen.

Andere relevante concepten zijn onder meer sparsiteit en diagonale dominantie, die de invloed van off-diagonale elementen op rekentechnische stabiliteit en convergentie beïnvloeden.