ODEgrenswaardeprobleem

Een ODEgrenzwaardeprobleem (ODE boundary value problem) beschrijft een gewone differentiaalvergelijking samen met voorwaarden die worden opgelegd op twee of meer punten in een interval. Het algemene idee is dat men niet alleen de oplossing bepaalt door een beginwaarde te geven (zoals bij een initiële waardeprobleem), maar dat men meetkundige of fysische randvoorwaarden specificeert op grenzen van het domein, bijvoorbeeld y(a) = α en y(b) = β voor een tweede orde ODE.

Een typisch voorbeeld is een tweede orde ODE van de vorm y'' = f(x, y, y') met randvoorwaarden y(a) = α en y(b) = β. Bepaalde problematiek kan lineair of niet-lineair zijn, en de oplossingsbetrouwbaarheid is niet altijd gegarandeerd: er kunnen geen, één of meerdere oplossingen bestaan. Dit onderscheidt grenswaardeproblemen van initiële waardeproblemen, waar doorgaans onder geschikte voorwaarden een unieke oplossing bestaat.

Numerieke methoden zijn gangbaar bij grenswaardeproblemen. De zogenaamde shooting-methode zet het BVP om in een reeks initiële waardeproblemen en past een zoektocht toe om de randvoorwaarde te vervullen. Een finite difference-methode discretiseert het interval en de ODE op een rooster, waarna een systeem van algebraïsche vergelijkingen ontstaat dat opgelost wordt. Collocatie- en varianten van de eindige-elementenmethode komen ook voor, vooral bij lineaire problemen of grotere systemen.

Als illustratie kan y'' + y = 0 met y(0) = 0 en y(π) = 0 leiden tot niet-unieke oplossingen van de vorm y(x) = C sin(x). Bij lineaire BVP’s met bij voorbeeld y'' + λ y = 0 en randvoorwaarden ontstaat vaak een eigenwaardeprobleem, met oplossingen die alleen bestaan voor specifieke λ-waarden.

Toepassingen komen voor in fysica, engineering, warmte- en stromingsleer, en mechanica.