Normalenmatrix

Normalenmatrix, ook wel normal matrix genoemd, is een vierkante matrix A over het complexe veld waarvoor A* A = A A*, waarbij A* de geconjugeerde transpose is. In woorden: A commuteert met zijn adjoint. Deze eigenschap maakt normalenmatrixen een natuurlijke generalisatie van Hermitische en unitaires matrices.

Een fundamenteel gevolg is het bestaan van een unitaire diagonalisatie: er bestaat een eenheidsmatrix U zodat U* A U = diag(λ1, ..., λn). Dit betekent dat A unitaal diagonaal kan worden gemaakt. Daaruit volgt ook dat eigenvectoren van A met verschillende eigenwaarden orthogonaal zijn.

Other belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat ||A||2 = max_i |λ_i| voor een normalenmatrix, en dat A kan worden geschreven als A = U Λ U*, met Λ diagonaal en U unitair. De spectrale structuur van A is dus volledig bepaald door de eigenwaarden.

Voorbeelden: Hermitische matrices (A* = A) en skew-Hermitische matrices (A* = -A) zijn normaal. Unitaire matrices (A* A = I) vormen eveneens een subset van normaal matrices. Een concreet reëel voorbeeld is de rotatiematrix [[0, -1], [1, 0]], die normaal is maar niet Hermitisch.

Realistische nuance: bij reële normalenmatrices bestaat er een orthogonale matrix Q zodat Q^T A Q blokdiagonaal kan worden gebracht, met 1×1- en 2×2-blocks die overeenkomen met complexe conjugaat-paren. Over het complexe veld geldt echter de volledige diagonaalisering via een unitair matrix.

Normalenmatrixen spelen een centrale rol in de spectrale stelling, waardoor hun eigenwaarden en -vectoren cruciaal zijn in tal van toepassingen zoals kwantummechanica, signaalverwerking en numerieke lineaire algebra.