blokdiagonaal

Een blokdiagonaal matrix is een vierkante matrix die kan worden opgedeeld in kleinere vierkante blokken langs de hoofddiagonaal, zodat alle off-diagonale blokken nul zijn. De blokken op de diagonaal kunnen willekeurige matrices zijn en bepalen samen de structuur van het geheel.

Eigenschappen: voor een blokdiagonaal matrix geldt dat de determinant het product is van de determinanten van de diagonaalblokken en dat de trace de som is van de traces van de blokken. De inverse bestaat indien elk diagonaalblok invertibel is, en dan is de inverse ook blokdiagonaal met de inverses van de blokken. De eigenwaarden van de matrix vormen de verenigde verzameling van de eigenwaarden van de diagonaalblokken. De rang van de matrix is de som van de rangen van de blokken. Een matrix kan blokdiagonaal worden gemaakt wanneer de ruimte splitsbaar is in invariant subruimten die onafhankelijk evolueren onder de lineaire transformatie.

Verkrijgen en verwante begrippen: een matrix is blokdiagonaal relatief aan een direct som van subruimten. Door een geschikte basisherordening of een permutatie kan een matrix die in het juiste kader ontbreekt tijdelijk blokken vertonen; echte blokkering vereist echter aparte invariantie.

Toepassingen: blokdiagonaalheden vereenvoudigen berekeningen zoals het berekenen van matrixfuncties (bijvoorbeeld exponentials), het oplossen van lineaire systemen die ontkoppeld zijn, en het analyseren van statistische covariantiematrices of grafen waarin onafhankelijke componenten voorkomen.

Voorbeeld: een 4x4 matrix diag(A, B) met twee diagonaalblokken A en B is een eenvoudige voorstelling van een blokdiagonaal matrix.