Mittelwertunterschiede

Mittelwertunterschiede bezeichnen die Differenz zwischen den arithmetischen Mitteln zweier oder mehrerer Gruppen. Sie dienen dazu, zu prüfen, ob Gruppen durch eine Behandlung, Bedingung oder Eigenschaft in irgendeiner Weise verschieden sind. Dabei lässt sich der absolute Unterschied (mean1 − mean2) von standardisierten Effektgrößen unterscheiden, die die Größenordnung der Differenz im Verhältnis zur Varianz ausdrücken.

Für zwei unabhängige Stichproben wird häufig der Student-t-Test verwendet, um die Nullhypothese zu testen, dass die Mittelwerte gleich sind. Unter der Annahme gleicher Varianzen ergibt sich t = (x̄1 − x̄2) / (s_p * sqrt(1/n1 + 1/n2)), wobei s_p der gepoolte Standardfehler ist. Ist die Varianz nicht gleich verteilt, verwendet man den Welch-t-Test, der andere Freiheitsgrade nutzt. Für abhängige Stichproben (gepaarte Messungen) kommt der gepaarte t-Test zum Einsatz, bei dem der Fokus auf den Differenzen d_i liegt: t = d̄ / (s_d / sqrt(n)).

Bei drei oder mehr Gruppen dient die Varianzanalyse (ANOVA) dazu festzustellen, ob mindestens ein Mittelwert verschieden ist. Bei einem signifikanten F-Test folgen Post-hoc-Vergleiche (z. B. Tukey), um zu identifizieren, welche Gruppen sich unterscheiden. Nichtparametrische Alternativen werden verwendet, wenn die Annahmen der Normalverteilung oder Varianzen verletzt sind: Mann-Whitney U für unabhängige Stichproben, Wilcoxon sign-rank für gepaarte Daten und Kruskal-Wallis für mehr als zwei Gruppen.

Effektgrößen wie Cohen's d oder Hedges g (und für gepaarte Daten dz) geben die Größenordnung des Mittelwertunterschieds an. Konfidenzintervalle und robuste Methoden wie Bootstrap oder Permutation ergänzen die Schätzung. Wichtige Hinweise betreffen die Unabhängigkeit der Daten, Verteilungsannahmen und die Interpretation von Signifikanz im Hinblick auf praktische Relevanz.