Matrixzusammensetzungen

Matrixzusammensetzungen bezeichnen die Verkettung linearer Abbildungen durch Matrizen. Wenn A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix ist, dann wirkt die zusammengesetzte Abbildung A∘B von R^p nach R^m und ihr darstellendes Matrixprodukt ist AB. Die Größenbedingungen stimmen überein: Die Spaltenanzahl von A muss der Zeilenanzahl von B entsprechen.

Inhaltlich bedeuten Matrixzusammensetzungen das Folgen zweier Transformationen: Zuerst wendet man B an, dann A. Die Reihenfolge ist wichtig, denn Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Wichtige Eigenschaften sind die Assoziativität (AB)C = A(BC) und die Existenz einer Einheitsmatrix I_n, sodass I_nX = X und X I_n = X gelten. Die Einheitsmatrix dient als Identität bei Matrizenmultiplikationen.

Interpretativ verknüpft die Matrix AB die Wirkungen der beiden Transformationen: Die Abbildung AB entspricht der linearen Abbildung, die durch B beschriebenen Vektoren zuerst transformiert und dann durch A weitertransformiert. Typische Aussagen betreffen Bild und Kern: Im Allgemeinen gilt Im(AB) ⊆ Im(A), und Ker(B) enthält Ker(AB) im Sinne von Abbildungen, die nach B auf 0 laufen.

Wichtige Spezialfälle: Wenn A oder B invertierbar sind, ist AB ebenfalls invertierbar und (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Die Rangordnung gilt: Rang(AB) ≤ min(Rang(A), Rang(B)). Praktische Beispiele zeigen einfache 2×2-Matrizen; durch Multiplikation erhält man neue Abbildungen, die durch das Block- oder Produktprinzip beschrieben werden können.

Anwendungen finden sich in der linearen Systemtheorie, Grafiktransformationen, Datentransformationen und allgemein in der Modellierung linearer Prozesse.