2×2Matrizen

Eine 2×2-Matrix ist eine quadratische Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten. Sie wird oft in der Form A = [ [a, b], [c, d] ] oder als (a b; c d) geschrieben, wobei die Einträge a, b, c und d aus einem Feld stammen, häufig den Realzahlen oder Komplexzahlen. 2×2-Matrizen dienen der Darstellung linearer Abbildungen von R^2 nach R^2 bzw. von einem zweidimensionalen Vektorraum in denselben Raum.

Zu den grundlegenden Operationen gehören Addition und Subtraktion zweier 2×2-Matrizen sowie die Multiplikation mit einer Skalarzahl oder einer anderen 2×2-Matrix. Die Determinante einer 2×2-Matrix ist det(A) = ad − bc. Die Determinante gibt Hinweise auf Invertierbarkeit: A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0. In diesem Fall lautet die Inverse A^{-1} = (1/(ad − bc)) [ [d, −b], [−c, a] ]. Der Spalten- bzw. Zeilenrang von A ist ≤ 2.

Der Spalten- bzw. Zeilenvektorraum beschreibt lineare Abbildungen: Der Träger der Abbildung besitzt den Spannteild, der durch Spaltenvektoren gegeben ist. Typische Eigenschaften sind der Tr(A) = a + d, der als Spur bezeichnet wird, sowie die Eigenwerte λ, die sich aus dem charakteristischen Polynom λ^2 − Tr(A)λ + det(A) = 0 ergeben.

Spezielle 2×2-Matrizen sind beispielsweise die Einheitsmatrix I2, Rotationsmatrizen R(θ), Skalierungsmatrizen und Scherungsmatrizen. Symmetrie liegt vor, wenn b = c; orthogonale Matrizen A erfüllen A^T A = I. Invertierbare Matrizen mit det ≠ 0 entsprechen bijektiven linearen Abbildungen.