Lösungsgüte

Lösungsgüte bezeichnet die Güte eines berechneten Lösungsvorschlags für ein mathematisches Problem im Verhältnis zur exakten Lösung oder zum optimalen Wert. Der Begriff wird in der Numerik, der mathematischen Optimierung und der Simulation verwendet, um die Angemessenheit von Algorithmen, Toleranzen und Stoppkriterien zu beurteilen.

Typische Qualitätskriterien umfassen Feasibilität, Optimalität und Genauigkeit. Feasibilität misst, wie stark die Nebenbedingungen verletzt sind, oft durch Normen der Residuen oder durch Fehlervorgaben bei den Ungleichungen. Optimalität beurteilt, wie nahe der gefundene Wert dem Optimum liegt, häufig über die Suboptimalitäts- oder Dualitätslücke. Genauigkeit bezieht sich auf die Abweichung von der wahren Lösung infolge von Rundungsfehlern, Approximationen oder Modellvereinfachungen.

In linearen Problemen wird die Lösungsgüte häufig über Residuen bewertet, z. B. durch den normierten Fehler r = Ax - b. In nichtlinearen oder konvexen Optimierungsproblemen kommen zusätzlich KKT-Bedingungen (Karush-Kuhn-Tucker) und deren Verletzungsmessgrößen zum Einsatz. Die Rückwärtsfehleranalyse betrachtet oft, welche kleinen Änderungen an den Eingabedaten die berechnete Lösung exakt machen würden.

Zur Bestimmung der Güte dienen a priori- und a posteriori-Fehlerabschätzungen, Residuenmessungen, Konvergenzordnungen und Stoppkriterien. Eine gute Lösungsgüte hängt stark von der Problemstruktur ab: von der Konditionierung des Problems, der Stabilität des Algorithmus, der gewählten Toleranzen und der verwendeten Rechenpräzision.

Anwendungsbereiche umfassen numerische Lösen linearer Systeme, Optimierungsaufgaben in Ingenieurwesen und Wirtschaft sowie Parameter- oder Datenanpassungsprobleme in Wissenschaft und Technik. Die Beurteilung der Lösungsgüte ist oft zentral für die Zuverlässigkeit von Simulationen und die Interpretation der Ergebnisse.