LyapunovMethoden

Lyapunovmethoden sind zentrale Werkzeuge der Stabilitätsanalyse dynamischer Systeme. Sie basieren auf der Idee, eine Energie- oder Potenzialfunktion V_x zu finden, die positive Definitheit besitzt und deren Ableitung entlang der Systemtrajektorien negativ ist. Solche Funktionen liefern Hinweise darauf, wie sich Zustände im Laufe der Zeit verhalten, ohne die Lösungen der Differentialgleichungen explizit zu berechnen.

In der direkten Lyapunov-Methode wird eine Lyapunov-Funktion V: R^n -> R+ gewählt, die positiv definit ist. Ist ihre Ableitung Vdot = dV/dt entlang der Trajektorien des Systems negativ definit, folgt daraus, dass das Gleichgewicht lokal asymptotisch stabil ist. Reicht Vdot nur als negativ semi-defin aus, erhält man unter zusätzlichen Bedingungen oft Stetigkeit oder LaSalle-Invarianzprinzip-Stabilität. Wenn V radial unendlich ist, folgt globale Stabilität. Das Konzept lässt sich auch auf diskrete Zeit anwenden, wobei V(x_{k+1}) kleiner als V(x_k) verlangt wird.

In der indirekten Methode wird die Stabilität durch Linearisierung des Systems um das Gleichgewicht untersucht. Wenn die Eigenwerte der Jacobianmatrix alle negativen Realteile haben, ist das Gleichgewicht lokal asymptotisch stabil. Bei rein imaginären oder Null-Eigenwerten sind weitere, oft nichtlineare Analysen erforderlich. Für Systeme mit mehreren Betriebspunkten oder Schaltzuständen wird häufig ein gemeinsamer Lyapunov-Funktion (oder eine Summe) gesucht.

Weitere Ergebnisse umfassen LaSalle’s Invarianzprinzip, Barbalat-Lemma und, für polynomial Systeme, konstruktive Methoden wie Sum-of-Squares- oder LMIs-Ansätze. Zu den Anwendungsfeldern zählen Regelungstechnik, Robotik, Elektrik und mechanische Systeme. Grenzen bestehen darin, dass das Auffinden einer geeigneten Lyapunov-Funktion nicht immer möglich ist und die Konstruktion anspruchsvoll bleiben kann.