Limietordinaal

Limietordinaal is een term uit de verzamelingenleer die een speciaal type ordinaal aanduidt. Een limietordinaal α is een ordinaal dat niet nul is en geen opvolgerordinaal; met andere woorden, er bestaat geen β zodat α = β + 1. Even logisch is dat α kan geschreven worden als het supremum van alle kleinere ordinals: α = sup{β | β < α}. Het kleinste limietordinaal is ω, het eerste oneindige ordinaal dat de verzameling van de natuurlijke getallen voorstelt.

Voorbeelden zijn onder meer ω, ω·2 (ook geschreven als ω+ω), ω^2 en ω1 (de eerste ongetelde ordinaal). Elk van deze ordinaal is limiet, omdat er geen enkel onmiddellijk voorgangerordinaal bestaat.

Een belangrijke eigenschap van limietordinaalen is hun cofinaliteit. De cofinaliteit cf(α) is de kleinste grootte van een gewone steeds stijgende volkstelling die α bereikt als limiet; formeel is er een volgorde-increasing functie van een ordeβ die insnijdt in α en die α is. Voor ω geldt cf(ω) = ω; voor ω1 geldt cf(ω1) = ω1. Sommige limietordinaalen zijn singulier, wat betekent cf(α) < α (bijvoorbeeld ωω heeft cf(ωω) = ω). Anderen zijn regulier, wat betekent cf(α) = α (zoals ω en ω1).

In het thema van ordinale groei vormen limietordinaalen een essentieel begrip: elk ordinaal is nul, een opvolger of een limiet; limietordinaalen komen voor in transfinite recursie en ordinale aritmetiek, waar zij als supremums en limieten van toenemende reeksen fungeren.