Inverseerbaar

Inverseerbaar is een term in de wiskunde die aangeeft dat een object onder een bepaalde bewerking of samenstelling een inverse heeft. In het algemeen betekent inverseerbaar dat er een omgekeerde bewerking bestaat die, wanneer deze wordt toegepast op het oorspronkelijke object, teruggeeft wat erin zat.

In lineaire algebra is een vierkante matrix A inverseerbaar als det(A) ≠ 0; dan bestaat er een matrix A^{-1} met AA^{-1} = A^{-1}A = I. Inverse matrices bestaan en zijn uniek. Voor lineaire transformaties f: V → V geldt vergelijkbaar: f is invertibel als f bijectief is; er bestaat een inverse f^{-1} met f^{-1} ∘ f = id_V en f ∘ f^{-1} = id_V.

Voor functies f: X → Y is invertibel als f bijectief is; de inverse functie f^{-1}: Y → X voldoet aan f^{-1}(f(x)) = x en f(f^{-1}(y)) = y.

In ringtheorie is een element a met identiteit invertibel als er een b geldt met ab = ba = 1. Zulke elementen worden een eenheid genoemd en schrijven a^{-1}.

Wanneer een object niet invertibel is, spreekt men vaak van niet-invertibel of singulier (bij matrices met determinant 0). Voor niet-vierkante matrices bestaat geen echte inverse. In sommige situaties kan men wel een pseudo-inverse of Moore–Penrose-inverse gebruiken als een bruikbaar alternatief.

Computing inverse wordt meestal gedaan via Gauss-eliminatie, adjungerende methode (determinant en cofactoren) of via LU-/QR-decomposities. Inverseerbare objecten spelen een cruciale rol bij het oplossen van vergelijkingen, veranderingsbasis en transformaties.