Hyperflächen

Hyperflächen bezeichnet man in der Geometrie als Untermenge des n-dimensionalen euklidischen Raums R^n, die lokal die Struktur einer (n-1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit besitzt. Formal ist eine Hyperfläche oft der reguläre Levelsatz F^-1(0) einer glatten Funktion F: R^n -> R, wobei der Gradient ∇F auf der Menge ungleich Null ist. In diesem Sinn ist sie eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von Kodimension 1 und besitzt damit an jedem Punkt einen (n-1)-dimensionalen Tangentenraum.

Beispiele sind Hyperflächen in R^n wie Hyperplanes, die durch eine lineare Gleichung a·x = b definiert sind. Sphären S^{n-1} = {x ∈ R^n | ||x|| = r} gehören ebenfalls zu den Hyperflächen, da sie als Levelmengen von ||x||^2 dargestellt werden können. Graphen von glatten Funktionen g: D ⊂ R^{n-1} -> R bilden lokal Hyperflächen in R^n, etwa in der Form x = (x1,..., x_{n-1}, g(x1,..., x_{n-1})).

Geometrisch besitzt eine reguläre Hyperfläche an jeder Stelle p einen Normalenvektor, der in Richtungen des Gradienten ∇F(p) liegt, und einen Tangentenraum der Dimension n-1. Die Regularität von F garantiert eine glatte Struktur der Hyperfläche. In drei Raumdimensionen entsprechen Hyperflächen zweidimensionalen Flächen; deren Krümmung wird durch Größen wie Gaußsche Krümmung und mittlere Krümmung beschrieben. Minimalflächen sind Hyperflächen mit mittlerer Krümmung H = 0.

Anwendungen finden sich in der Physik (Grenz- oder Phasenflächen), der Differentialgeometrie, numerischen Methoden (Level-Set-Techniken) und der Computergrafik, wo Oberflächen modelliert und analysiert werden.