Hilberttransformatie

De Hilberttransformatie is een lineaire operator die aan een reële signaalfunctie f(t) een andere signaalfunctie Hf(t) toewijst. Voor continue tijd wordt deze transformatie gedefinieerd als een Cauchy-principaalwaarde van een convolution met de oneven kerneel 1/(πt): Hf(t) = p.v. (1/π) ∫_{-∞}^{∞} f(τ)/(t−τ) dτ. Dit maakt van f geen elementaire antiderivative, maar een quadratuur- of “kwadratuurcomponent” van het signaal.

In het frequentiedomein is de Hilberttransformatie eenvoudig te beschrijven: als F(ω) de Fourier-transformatie van f(t) is, dan heeft Hf(t) een spectrum F_H(ω) = −i sgn(ω) F(ω). Met andere woorden wordt bij ruis of andere f(t) elk frequentiecomponent verschoven in fase met ±90 graden, afhankelijk van de sign van ω.

Een belangrijke toepassing is de constructie van het analytische signaal. Voor een reëel signaal f(t) is het analytische signaal f_a(t) = f(t) + i Hf(t). De Fourier-reikwijdte van f_a(t) bevat daardoor uitsluitend positieve frequenties, waardoor amplitude en fase van het signaal gedefinieerd kunnen worden als A(t) = |f_a(t)| en φ(t) = arg(f_a(t)).

Eigenschappen zijn onder andere lineariteit, en dat H^2 = −I op geschikte functieruimten; H levert een reëel signaal naar een complex signaal. De transform is zinvol in demodulatie, envelope- en instantaneous-frequency-schatting, en in ruisonderdrukking. Praktisch wordt de Hilberttransformatie vaak geïmplementeerd via FFT-gebaseerde methoden door F(ω) met −i sgn(ω) te vermenigvuldigen, of door in tijdsdomein de Cauchy-principaalwaarde te benaderen.

---