Gleitkommaoperationen

GleitkommaOperationen bezeichnen die arithmetischen Operationen mit Gleitkommazahlen in der Informatik. Sie ermöglichen die Darstellung und Berechnung von reellen Zahlen mit endlicher Genauigkeit, typischerweise in Systemen der Form Sign, Exponent und Mantisse. In der Praxis dominiert der Standard IEEE 754, der unterschiedliche Präzisionen wie Einfach- und Doppelpräzision definiert und auch spezielle Formate behandelt.

Darstellung und Genauigkeit: Gleitkommazahlen verwenden eine Normalisierung und abgeschnittene Mantissenlänge, wodurch Rechenoperationen mit Rundung verbunden sind. Übliche Rundungsmodi umfassen Rundung auf die nächste Zahl, Nach- oder Aufrunden, und Rundung in Unendheit. Durch endliche Darstellung entstehen Abbildungsfehler, Ausbreitung von Rundungsfehlern und unter Umständen Denormalzahlen bei sehr kleinen Werten. Unter- oder Überlauf kann auftreten.

Typische Operationen sind Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division; häufige Erweiterungen umfassen Fused Multiply-Add (FMA), Quadratwurzel oder Rest. Viele Prozessoren unterstützen Vektoroperationen (SIMD) und andere Spezialbefehle.

Numerische Eigenschaften: Die Ergebnisse hängen von der Stabilität der Rechnung und der Kondition des Problems ab. Rundungsfehler können sich verschlimmern, etwa bei Subtraktion ähnlicher Größen (Kollaps), oder bei Kettenberechnungen. Fehleranalyse unterscheidet Kondition (Wie Problem mit Fehlern skaliert) von Stabilität (Wie Algorithmen Fehlern widerstehen).

Anwendungen und Folgen: Gleitkommaoperationen sind zentral in Wissenschaft, Grafiken, maschinellem Lernen und Simulationen. Programmierung berücksichtigt oft Genauigkeitsanforderungen, verfügbare Präzision, und potenzielle Fehlerquellen, weshalb Tests, Budgets für Fehler und Alternativen wie arithmetische Robustheit oder Ganzzahl- oder Festkomma-Repräsentationen genutzt werden.